A sequência de Fibonacci é um padrão de números que ocorre novamente em toda a natureza.

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O que é a sequência de Fibonacci?

A sequência de Fibonacci é uma das fórmulas mais conhecidas da teoria dos números e uma das sequências inteiras mais simples definidas por uma relação de recorrência linear. Na seqüência de números de Fibonacci, cada número na seqüência é a soma dos dois números anteriores, com 0 e 1 como os dois primeiros números. A série de números de Fibonacci começa da seguinte maneira: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 e assim por diante. A sequência de Fibonacci é útil para suas aplicações em matemática e estatística avançadas, ciência da computação, economia e natureza.

A Origem da Sequência de Fibonacci

A sequência de Fibonacci aparece pela primeira vez em textos sânscritos antigos já em 200 aC, mas a sequência não era amplamente conhecida no mundo ocidental até 1202, quando o matemático italiano Leonardo Pisano Bogollo a publicou em seu livro de cálculos chamado Liber Abaci . Leonardo também era conhecido pelo apelido de Leonardo de Pisa, mas foi somente em 1838 que os historiadores lhe deram o apelido de Fibonacci (traduzido aproximadamente como 'filho de Bonacci'). Além de popularizar a sequência de Fibonacci, o livro de Fibonacci Liber Abaci defendeu o uso de numerais hindu-arábicos (1, 2, 3, 4, etc.) e ajudou a substituir o sistema de numeração romana (I, II, III, IV, etc.) em toda a Europa.

Dentro Liber Abaci , a sequência de Fibonacci foi realmente usada para responder a um problema matemático hipotético envolvendo o crescimento da população de coelhos: se um único par de coelhos acasalar no final de cada mês, então dê à luz um novo par de coelhos um mês após o acasalamento, e todos os novos pares de os coelhos seguem o mesmo padrão, quantos pares ou coelhos existirão em um ano? Veja como você começaria a responder a este problema:

  • Começar com 1 par de coelhos.
  • No final do primeiro mês, ainda há apenas 1 par de coelhos desde que se acasalaram, mas ainda não deram à luz.
  • No final do segundo mês, há dois pares de coelhos desde o primeiro par já deram à luz um segundo par.
  • No final do terceiro mês, há 3 pares de coelhos. Isso ocorre porque o primeiro par gerou um terceiro par, mas o segundo par apenas acasalou.
  • No final do quarto mês, agora há 5 pares de coelhos. Isso ocorre porque o primeiro par deu à luz outro par, e o segundo par agora deu à luz o primeiro par.

Como você pode ver, este padrão 1, 1, 2, 3, 5 segue a sequência de Fibonacci. Se você continuar por 12 meses, o número de pares será igual a 144.

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Fórmula do número de Fibonacci

Para calcular cada número de Fibonacci sucessivo na série de Fibonacci, use a fórmula

Fórmula do número de Fibonacci

onde 𝐹 é o 𝑛º número de Fibonacci na sequência, e os primeiros dois números, 𝐹0 e 𝐹1, são definidos em 0 e 1, respectivamente.

O único problema com esta fórmula é que é uma fórmula recursiva, o que significa que define cada número da sequência usando os números anteriores. Portanto, se você quiser calcular o décimo número na sequência de Fibonacci, precisará primeiro calcular o nono e o oitavo, mas, para obter o nono, precisará do oitavo e do sétimo, e assim por diante.

Para encontrar qualquer número na sequência de Fibonacci sem nenhum dos números anteriores, você pode usar uma expressão de forma fechada chamada fórmula de Binet:

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Fórmula do número de Fibonacci

Na fórmula de Binet, a letra grega phi (φ) representa um número irracional chamado proporção áurea: (1 + √ 5) / 2, que arredondado para a casa dos milésimos mais próxima é igual a 1,618.

Sequência de Fibonacci e a Razão Áurea

A proporção áurea (ou seção áurea) é um número irracional que resulta quando a proporção de dois números é a mesma que a proporção de sua soma para o maior dos dois números. A sequência de Fibonacci está intimamente ligada à proporção áurea porque, à medida que os números de Fibonacci aumentam, a proporção de quaisquer dois números de Fibonacci consecutivos fica cada vez mais perto da proporção áurea.

Sequência de Fibonacci na Natureza

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Há uma considerável desinformação sobre onde você pode encontrar a sequência de Fibonacci e a proporção áurea no mundo real; apesar do que você pode ler, a proporção áurea não foi usada para construir as pirâmides de Gizé, e a concha do nautilus não desenvolve novas células com base na sequência de Fibonacci.

Mas essas propriedades matemáticas por trás da sequência de Fibonacci e da proporção áurea aparecem em toda a natureza de várias maneiras. Por exemplo, você pode encontrar a proporção áurea no arranjo espiral das folhas (chamado filotaxia) em algumas plantas ou no padrão espiral dourado das pinhas, couve-flor, abacaxi e no arranjo das sementes nos girassóis. Além disso, o número de pétalas em uma flor é normalmente um número de Fibonacci.

Além disso, a árvore genealógica de um zangão de abelha segue a sequência de Fibonacci. Isso ocorre porque um zangão macho choca de um ovo não fertilizado e só tem um pai, enquanto as abelhas fêmeas têm dois pais. Isso resulta em uma árvore genealógica do drone que consiste em um pai, dois avós, três bisavós, cinco tataravós e assim por diante em toda a sequência de Fibonacci.

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